Les travaux de ce grand mathématicien, victime de la tuberculose à peine âgé de 27 ans ne fût reconnu qu'après sa mort.

A 16 ans, il pensait pouvoir résoudre par radicaux les équations du 5° degré. A 19 ans, il prouva le contraire : l'impossibilité, dans le cas général, de résoudre par radicaux une équation algébrique (polynomiale à coefficient rationnel) de degré 5.

On doit aussi à Abel la notion de nombre algébrique:"Un nombre est dit algébrique s'il est solution d'une équation polynomiale à coefficient rationnel".

Par la suite, il fût prouvé que les nombres pi et e ne sont pas algébriques. De tels nombres sont dits transcendants.

L'oeuvre principale d'Abel a concerné l'étude des fonctions elliptiques.

Abel a aussi étudié les problèmes de convergence des séries entières et des fonctions.